Question

如圖，在直角坐標系中有一塊三角板GEF按圖1放置，其中∠GEF=60°，∠G=90°，EF=4．隨后三角板的點E沿y軸向點O滑動，同時點F在x軸的正半軸上也隨之滑動．當點E到達點O時，停止滑動．
（1）在圖2中，利用直角三角形外接圓的性質說明點O、E、G、F四點在同一個圓上，并在圖2中用尺規方法作出該圓，（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）滑動過程中直線OG的函數表達式能確定嗎？若能，請求出它的表達式；若不能，請說明理由；
（3）求出滑動過程中點G運動的路徑的總長；
（4）若將三角板GEF換成一塊∠G=90°，∠GEF=α的硬紙板，其它條件不變，試用含α的式子表示點G運動的路徑的總長．

Answer 1

分析：（1）根據∠EOF+∠EGF=180°，可知點O、E、G、F四點在同一個圓上；作出一直角三角形的斜邊的中點即為外接圓圓心，斜邊的一半為外接圓半徑；
（2）設出直線解析式，可求得點G的坐標，代入即可；
（3）畫出示意圖，利用三角函數可求得滑動路程的和；
（4）方法同（3），只需把度數改為α．

解答：解：（1）取EF的中點M，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，知
ME=MO=MF=MG，
∴O、E、G、F四點在以O為圓心，ME為半徑的圓上；

（2）由（1）知∠GOX=∠GEF=60°，
∴滑動過程中∠GOX的度數保持不變，
過圖1中的點G作GA⊥x軸，垂足為A，由EF=4，易得GE=2，
GO=2

3

，在Rt△GOA中可求得G（

3

，3），
設OG為y=kx，將G（

3

，3）代入可得k=

3

，
∴直線OG的表達式為：y=

3

x；

（3）在圓M中，總有OG≤EF=4，
∴滑動過程中OG最長為4，最短為2（此時點E到達點O，停止了滑動），
如圖3所示為點G滑動的路徑，
易知GG₁=4-2

3

，G₁G₂=4-2=2，
∴點G運動的路徑的總長=4-2

3

+2=6-2

3

；

（4）當∠GEF=α時，仿上述方法易知∠GOX=α，
且點G的運動路線僅僅是長度上發生了變化，
此時有GG₁=4-4sinα，
G₁G₂=4-4cosα，
∴點G運動的路徑的總長=4-4sinα+4-4cosα
=8-4sinα-4cosα．

點評：直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點，外接圓的半徑是斜邊的一半，注意特殊三角函數的運用，以及類比方法的使用．