Question

（1）數學來源于生活又服務于生活，利用數學中的幾何知識可以幫助我們解決許多實際問題．李明準備與朋友合伙經營一個超市，經調查發現他家附近有兩個大的居民區A、B，同時又有相交的兩條公路，李明想把超市建在到兩居民區的距離、到兩公路距離分別相等的位置上，繪制了如圖一的居民區和公路的位置圖．聰明的你一定能用所學的數學知識幫助李明在圖上確定超市的位置！請用尺規作圖確定超市P的位置．（寫出已知、求作，作圖不寫作法，但要求保留作圖痕跡．）
（2）如圖二，O為平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，過點O作一條直線分別與AB、CD交于點M、N，點E、F在直線MN上，且OE=OF．
①圖中共有幾對全等三角形，請把它們都寫出；
②求證：∠MAE=∠NCF．

Answer 1

分析：（1）先畫角的平分線，再畫出線段AB的垂直平分線，兩線的交點就是P．
（2）①單個三角形全等的是：△AMO≌△CNO，△AME≌△CNF．由2部分組成全等的是：△OCF≌△OAE，△ABC≌△CDA；
②由題中已知條件可證得△OCF≌△OAE，進而求得∠EAO=∠FCO，而后利用平行四邊形的對邊平行的性質求得相應的內錯角相等，進而求解．

解答：解：（1）已知：相交直線a、b，點A、點B．
求作：點P，使點P到直線a、b的距離相等，且PA=PB．
如圖所示：點P即為所求；


（2）①有4對全等三角形．
分別為△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA；

②∵在△OCF與△OAE中，

OA=OC ∠1=∠2 OE=OF

，
∴△OCF≌△OAE（SAS）．
∴∠EAO=∠FCO．
在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO．
∴∠EAM=∠NCF．

點評：（1）考查了作圖-應用與設計作圖，涉及到角的平分線、線段垂直平分線的性質；
（2）找三角形全等應有規律地去找，先找單個的全等三角形，再找由2部分或2部分以上組成全等的三角形．本題的難點在于利用平行四邊形的對邊平行的性質得到一組內錯角相等．