Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知直線和與軸分別相交于點和點，設兩直線相交于點，點為的中點，點是線段上一個動點（不與點和重合），連結，并過點作交于點．

（）判斷的形狀，并說明理由．

（）當點在線段上運動時，四邊形的面積是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

（）當點的橫坐標為時，在軸上找到一點使得的周長最小，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（）等腰直角三角形，理由見解析；（）定值為8；（ ）

【解析】試題分析：（1）分別求出A、B、C三點坐標以及AC、AB、BC的長，即可得出的形狀；

（2），可知四邊形的面積是定值；

（3）利用軸對稱的性質即可求解.

解：（）由題意可知， ，令，則， ，

∴，則， ， ，則，且，

∴為等腰直角三角形．

（）由題意知，即，連結，過點作于， 于，

∴，

∵，

∴，

∵， ，

∴， 平分，

∴，

∵，

∴≌，

∴，

∴，是定值．

（）當時， ，

∴，

∴，

∴，

則要使周長最小，即只需時最小，又兩點之間線段最短，

∴設關于軸的對稱點，

∴，令， ，

∴．