Question

【題目】已知二次函數 （ 是常數）．
（1）求證：不論 為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點；
（2）把該函數的圖象沿 軸向下平移多少個單位長度后，得到的函數的圖象與 軸只有一個公共點？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0

∴方程x2﹣2mx+m2+3=0沒有實數解， 即不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點；

（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，

∴把函數y=x2﹣2mx+m2+3的圖象沿y軸向下平移3個單位長度后，得到的函數的圖象與x軸只有一個公共點．

【解析】（1）根據△=b2-4ac＞0方程有兩個不相等的兩個實數根，△=0，方程有兩個相等的實數根，△＜0，方程沒有實數根；由△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，得到方程x2﹣2mx+m2+3=0沒有實數解， 即不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點；（2）根據頂點式得到把函數的圖象沿y軸向下平移3個單位長度后，得到的函數的圖象與x軸只有一個公共點．