Question

【題目】用一根不可伸長的輕繩，將一體積為V的長方體木塊系于底面積為S0的圓柱形薄壁容器底部。往容器中緩慢注入密度為ρ0的液體，當木塊露出液面的體積與浸入水中的體積之比為1：4時，繩子受到的拉力是木塊重力的，如圖所示。若將木塊露出水面的部分切除，繩子剛好被拉斷。求：

（1）木塊的密度；

（2）細線剛好被拉斷時與細線斷后容器中液面恢復穩定時，容器底部所受液體壓強的變化量。

Answer 1

【答案】（1）ρ0；（2）

【解析】

（1）已知木塊體積（排開水的體積），利用阿基米德原理求所受浮力，根據已知得出拉力與重力的關系；根據物體受力平衡條件即可求解。

（2）將木塊露出水面的部分切除，細線剛好被拉斷時，木塊受到重力、浮力和細線的拉力，其關系式為F浮＝G+F；細線斷后容器中液面恢復穩定時，木塊漂浮，F浮′＝G′；將二式聯立，根據阿基米德原理和壓強計算公式，得出容器底部所受液體壓強的變化量。

（1）由于木塊露出液面的體積與浸入水中的體積之比為1：4，即：V露：V排＝1：4，

由于V露+V排＝V，所以，V排＝V，

受到的浮力為：F浮＝ρ0gV排＝ρ0gV，

G＝mg＝ρ木Vg；

繩子受到的拉力F＝G＝ρ木Vg；

由于木塊在繩子的拉力作用下處于靜止；

則F浮＝F+G，

即：ρ0gV＝ρ木Vg+ρ木Vg，

解得：ρ木＝ρ0，

（2）由于將木塊露出水面的部分切除，則剩余木塊的重力為G′

＝G＝×ρ木Vg＝×ρ0Vg＝ρ0Vg；

細線剛好被拉斷時，即木塊處于浸沒狀態時，F浮＝G+F＝G+G＝G＝×ρ木Vg＝×ρ0Vg＝ρ0Vg；

液面恢復穩定后，F浮′＝G′＝ρ0Vg；

則：△F浮＝F浮﹣F浮′＝ρ0Vg﹣ρ0Vg＝ρ0Vg，

結合阿基米德原理可得：ρ0g（V排﹣V排′）＝ρ0Vg，

即：ρ0g△h′S0＝ρ0Vg﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①，

而液體壓強的變化量：△p＝ρ0g△h′﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

由①②可得：△p＝=。