Question

如圖所示，輕質杠桿AB長L，兩端懸掛甲、乙兩個物體，已知AO∶OB =1∶3。甲、乙物體的高h_甲∶h_乙=3∶1，底面積S_甲∶S_乙=3∶1。杠桿在水平位置平衡時，甲物體對水平地面的壓力與乙物體所受的重力大小相等，則

A．甲、乙物體的密度之比為ρ甲∶ρ乙=1∶9

B．甲、乙物體所受重力之比為G甲∶G乙=4∶1

C．若將甲物體浸沒于水中未觸底時，保持杠桿在水平位置平衡，乙物體應移到距O點（4ρ乙-9ρ水）L/4ρ乙處

D．保持杠桿在水平位置平衡，甲、乙物體如圖懸掛時與將乙物體浸沒于水中未觸底時，甲物體所受支持力之比是N甲∶N甲´=ρ乙∶（ρ乙+3ρ水）

Answer 1

BCD

考查知識點：本題考查的是：杠桿的平衡條件，密度知識，受力分析，浮力知識
思路分析：首先根據杠桿的平衡條件確定A、B端繩子的拉力關系，然后根據受力分析、甲物體對水平地面的壓力與乙物體所受的重力大小相等判斷甲乙之間的密度關系，質量關系，重力關系，最后根據浮力知識和杠桿的平衡條件判斷C、D兩項是否正確。

具體解答過程：一、對甲進行受力分析，如圖1所示，杠桿A端的拉力大小即為繩子的拉力F_A，B端的拉力大小即為物體乙的重力（根據力的作用是相互的），利用杠桿平衡條件可得：
F_A·OA=F_B·OB，AO∶OB =1∶3，得出F_A =3F_B=3G_乙…………     ①
由對甲受力分析可列出：N_甲=G_甲 - F_A，………………②
又∵甲物體對水平地面的壓力與乙物體所受的重力大小相等，即G_乙=N_甲…………③
由①③二式代入②式可得：G_乙=G_甲 - 3G_乙所以G_甲∶G_乙=4∶1故B選項是正確的。
由G_甲=m_甲g=ρ_甲V_甲g=ρ_甲S_甲h_甲g，G_乙=m_乙g=ρ_乙V_乙g=ρ_乙S_乙h_乙g
G_甲∶G_乙=4∶1 ，S_甲∶S_乙=3∶1，h_甲∶h_乙=3∶1可知ρ_甲∶ρ_乙=4∶9故A選項錯誤。
二、若將甲物體浸沒于水中未觸底時，保持杠桿在水平位置平衡，如圖2所示，乙物體應移到距O點Ｃ處，對A進行受力分析，則根據杠桿平衡條件可知
F_A·OA=F_B·OC，OC= F_A·OA/F_B，………………④
由對甲受力分析可列出： F_A =G_甲 -  F_浮，………………⑤
G_甲∶G_乙=4∶1……………………⑥
把⑤⑥二式代入④可得OC=（４G_乙 -  F_浮）·OA/Ｇ_乙
=（４ρ_乙S_乙h_乙g- ρ_水S_甲h_甲g）·OA/ρ_乙S_乙h_乙g
再由S_甲∶S_乙=3∶1，h_甲∶h_乙=3∶1代入上式可得ＯＣ＝（4ρ_乙-9ρ_水）ＯＡ／ρ_乙，又因為ＡＢ＝L，AO∶OB =1∶3，所以ＯＡ＝L/4，故ＯＣ＝（4ρ_乙-9ρ_水）Ｌ／４ρ_乙所以Ｃ選項正確。
三、保持杠桿在水平位置平衡，甲、乙物體如圖懸掛時與將乙物體浸沒于水中未觸底時，如圖３所示，根據杠桿平衡條件可知F_A＇·OA=F_B＇·OB，…………………………⑦
對甲、乙進行受力分析如圖３，則F_A＇=G_甲 - 　N_甲＇………………………………⑧
F_Ｂ＇ =G_乙 -  F_浮＇………………………………………………………………⑨
把⑥⑧⑨代入⑦可得（４G_乙 - 　N_甲＇）·ＯＡ＝（G_乙 -  F_浮＇）ＯＢ
有F_浮＇＝ρ_水S_乙h_乙g，3OA=OB，G_乙=ρ_乙S_乙h_乙g，N_甲＇＝ρ_乙S_乙h_乙g＋３ρ_水S_乙h_乙g
由題意桿在水平位置平衡時，甲物體對水平地面的壓力與乙物體所受的重力大小相等可知
N_甲＝G_乙＝ρ_乙S_乙h_乙g，所以N_甲∶N_甲´=ρ_乙∶（ρ_乙+3ρ_水）故選項Ｄ正確。
所以此題的答案為ＢＣＤ。
試題點評：這道題是力學部分的綜合題，結合了杠桿的平衡條件、密度知識、受力分析、浮力知識的綜合應用，所以比較難。