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2025年復習直升機七年級數學北師大版
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例1 計算:(1)$(-a^{2})^{3}\cdot (b^{3})^{2}\cdot (ab)^{4}$;
(2)已知$2x+3y-5= 0$,求$9^{x}\cdot 27^{y}$的值.
答案：【解析】：
(1)本題考查冪的運算，包括積的乘方和同底數冪的乘法。先根據積的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$分別計算各項，再根據同底數冪的乘法公式$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$合并同類項。
(2)本題考查冪的乘方以及整體代入思想。先將$9^x$和$27^y$轉化為以3為底數的冪，即$9^x=(3^2)^x=3^{2x}$，$27^y=(3^3)^y=3^{3y}$，然后根據同底數冪的乘法法則可得$9^x\cdot27^y=3^{2x+3y}$，最后由已知條件$2x + 3y - 5 = 0$得出$2x + 3y=5$，代入計算即可。
【答案】：
(1)解：原式$=-a^{6}\cdot b^{6}\cdot a^{4}b^{4}$
$=-a^{6 + 4}b^{6 + 4}$
$=-a^{10}b^{10}$
(2)解：因為$2x + 3y - 5 = 0$，所以$2x + 3y=5$
原式$=(3^2)^x\cdot(3^3)^y$
$=3^{2x}\cdot3^{3y}$
$=3^{2x + 3y}$
$=3^5$
$=243$
例2 計算:
(1)$(2x+y-2)(2x+y+2)$;
(2)$(x+5)^{2}-(x-2)(x-3)$.
答案：【解析】：
(1)觀察式子$(2x + y - 2)(2x + y + 2)$，可將$2x + y$看作一個整體，符合平方差公式$(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$的形式，其中$a = 2x + y$，$b = 2$，利用平方差公式展開后，再對$(2x + y)^2$用完全平方公式展開即可。
(2)對于$(x + 5)^2-(x - 2)(x - 3)$，先分別計算$(x + 5)^2$（用完全平方公式）和$(x - 2)(x - 3)$（用多項式乘法法則），然后去括號，合并同類項得到結果。
【答案】：
(1)解：原式$=(2x + y)^2-2^2$
$=4x^2 + 4xy + y^2-4$
(2)解：原式$=x^2 + 10x + 25-(x^2 - 5x + 6)$
$=x^2 + 10x + 25 - x^2 + 5x - 6$
$=15x + 19$
例3 先化簡,再求值:$(a+3)^{2}-(a+1)(a-1)-2(2a+4)$,其中$a= -\frac {1}{2}$.
答案：【解析】：首先，根據完全平方公式$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$展開$(a + 3)^2$，可得$a^2 + 6a + 9$。
其次，利用平方差公式$(m + n)(m - n) = m^2 - n^2$化簡$(a + 1)(a - 1)$，得到$a^2 - 1$。
然后，計算$2(2a + 4)$，即$4a + 8$。
接下來，將上述結果代入原式：
$\begin{aligned}&(a^2 + 6a + 9) - (a^2 - 1) - (4a + 8)\\=&a^2 + 6a + 9 - a^2 + 1 - 4a - 8\\=&(a^2 - a^2) + (6a - 4a) + (9 + 1 - 8)\\=&2a + 2\end{aligned}$
最后，將$a = -\frac{1}{2}$代入化簡后的式子$2a + 2$：
$2×(-\frac{1}{2}) + 2 = -1 + 2 = 1$
【答案】：1
