Question

【題目】已知函數f（x）滿足 （其中a＞0，a≠1）
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）對于函數f（x），當x∈（﹣1，1）時，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）當x∈（﹣∞，2）時，f（x）﹣4的值為負數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設logax=t，則x=at ， 代入原函數得，
則
（Ⅱ）當a＞1時，ax是增函數，a﹣x是減函數且 ，
所以f（x）是定義域R上的增函數，
同理，當0＜a＜1時，f（x）也是R上的增函數，
又f（﹣x）= =﹣f（x），則f（x）為奇函數
由f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0得：f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1）…（6分）
所以 ，解得
則實數m的取值范圍是（1， ）；
（Ⅲ）因為f（x）是增函數，
所以x∈（﹣∞，2）時，f（x）﹣4∈（﹣∞，f（2）﹣4），
又當x∈（﹣∞，2）時，f（x）﹣4的值為負數，
所以f（2）﹣4≤0，
則f（2）﹣4=
= =
解得 且a≠1，
所以a的取值范圍是{a| 且a≠1}
【解析】（Ⅰ）設logax=t求出x=at ， 代入原函數化簡求出f（x）的表達式；（Ⅱ）對a分類討論，分別由指數函數的單調性判斷f（x）的單調性，由函數奇偶性的定義判斷f（x）是奇函數，由奇函數的性質等價轉化f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，結合x的范圍和單調性列出不等式，求出實數m的取值范圍；（Ⅲ）根據f（x）的單調性和題意求出f（x）的值域，結合條件列出不等式，化簡后由一元二次不等式的解法求出a的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用奇偶性與單調性的綜合，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性即可以解答此題．