Question

【題目】已知函數f（x）=|x+a|+|x﹣a|，a∈R． （Ⅰ）若a=1，求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤5的解集為A，且2A，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為a=1，所以f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|x+1﹣x+1|=2，

當且僅當（x+1）（x﹣1）≤0時，即﹣1≤x≤1時，f（x）的最小值為2．

（Ⅱ）因為2A，所以f（2）＞5，即|a+2|+|a﹣2|＞5，

當a＜﹣2時，不等式可化為﹣a﹣2﹣a+2＞5，解得 ，所以 ；

當﹣2≤a≤2時，不等式可化為a+2﹣a+2＞5，此時無解；

當a＞2時，不等式可化為a+2+a﹣2＞5，解得 ，所以 ；

綜上，a的取值范圍為

【解析】（Ⅰ）因為a=1，所以f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|x+1﹣x+1|=2，即可求函數f（x）的最小值；（Ⅱ）因為2A，所以f（2）＞5，即|a+2|+|a﹣2|＞5，分類討論，即可求a的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．