Question

【題目】已知函數f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|． （Ⅰ）若關于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜g（x）的解集為 ，求a+b的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當x=2時，g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值為a，

∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，當且僅當﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，

∵關于x的不等式f（x）＜g（x）有解，

∴a＞4，即實數a的取值范圍是（4，+∞）．

（Ⅱ）當 時，f（x）=5，

則 ，解得 ，

∴當x＜2時， ，

令 ，得 ∈（﹣1，3），

∴ ，則a+b=6．

【解析】（Ⅰ）求出g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值為a，f（x）的最小值4，利用關于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求實數a的取值范圍；（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜g（x）的解集為 ，代入相應函數，求出a，b，即可求a+b的值．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．