Question

【題目】如圖所示，半徑R的均勻圓木在水平地面上以平動速度做勻速滾動時，與高h的臺階相遇，接觸處發生完全非彈性碰撞，即在碰撞后圖中圓木與臺階側棱接觸部位A的速度降為零。再設兩者間的摩擦因數足夠大，使得部位A不會與臺階側棱在而后的接觸過程中發生相對滑動。

（1） 和h取何值時，圓木能繞側棱滾上臺階？

（2）在（1）問基礎上，確定部位A與側棱間摩擦因數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）碰撞前圓木的轉動角速度為

.

碰后瞬間圓木轉動角速度記為，因碰撞前后相對側棱角動量守恒，故有

，

，

其中m為圓木質量。

可解得。

而后的定軸轉動過程中機械能守恒，為能滾上臺階，首先要求

.

即得。

過程中除了摩擦因數足夠大，確保A與側棱間無相對滑動，還要求側棱指向圓木中心的法向支持力N始終大于零。如圖乙所示，將轉動過程中角速度記為，則有

.

上滾時，增大，增大，減小（因勢能增大，動能減小），故N增大。可見，N在轉動的最初時刻最小。于是，要求

，

即要求。

綜上所述，可取范圍為

.

為使上式能滿足，還要求

，

即得h可取范圍為。

（2）相對臺階側棱的轉動定理公式為

.

角加速度沿逆時針方向，已在圖中示出.若取質心系中質心為參考點，轉動定理公式又為

，

其中，f是側棱提供的摩擦力，方向也已在圖中示出，于是可得

.

圓木上滾時，增大，N增大，f減小，故減小.可見，在轉動的最初時刻最大，因此

，

式中

，

.

的可取范圍為

.