Question

已知f（x）=e^x，g(x)=

x2+4 -x

2

．
（Ⅰ）若關(guān)于x的方程[f（x）]²+m•f（x）+4=0有兩個(gè)不相等的正根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）直線y=t（t＞1）與y=f（x），x=0，y=g（x）的圖象分別交于M，S，N三點(diǎn)．求證：不存在兩個(gè)不同的t使得

|SM|

|SN|

的值相等．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于（e^x）²+m•e^x+4=0有兩個(gè)不相等的正根，若令t=e^x，則關(guān)于t的方程t²+m•t+4=0有兩個(gè)大于1且不相等的根，可得

1+m+4＞0 △=m2-16＞0 - m 2 ＞1

，解得即可．
（II）聯(lián)立

y=t y=ex

，解得x=lnt，可得|SM|=lnt．聯(lián)立

y=t y= x2+4 -x 2

，解得x=

1-t2

t

，可得|SN|=

t2-1

t

．于是

|SM|

|SN|

=

tlnt

t2-1

，令h(t)=

tlnt

t2-1

．不存在兩個(gè)不同的t（t＞1）使得

|SM|

|SN|

的值相等?不存在兩個(gè)不同的t（t＞1）使h（t）的值相等．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（t）在區(qū)間（1，+∞）上具有單調(diào)性即可．

解答：解：（Ⅰ）∵（e^x）²+m•e^x+4=0有兩個(gè)不相等的正根，令t=e^x
∴關(guān)于t的方程t²+m•t+4=0有兩個(gè)大于1且不相等的根，
∴

1+m+4＞0 △=m2-16＞0 - m 2 ＞1

，解得m∈（-5，-4）．
（Ⅱ）聯(lián)立

y=t y=ex

，解得x=lnt，∴|SM|=lnt．
聯(lián)立

y=t y= x2+4 -x 2

，解得x=

1-t2

t

，∴|SN|=

t2-1

t

．
∴

|SM|

|SN|

=

tlnt

t2-1

，令h(t)=

tlnt

t2-1

．
不存在兩個(gè)不同的t（t＞1）使得|SM|=|SN|的值相等?不存在兩個(gè)不同的t（t＞1）使h（t）的值相等．
又h′(t)=

t2-t2lnt-lnt-1

(t2-1)2

．
令u（t）=t²-t²lnt-lnt-1，∴u′(t)=t-2tlnt-

1

t

，u″(t)=

1

t2

-1-2lnt．
∵當(dāng)t＞1時(shí)，u″(t)=

1

t2

-1-2lnt＜0，∴u'（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)t＞1時(shí)，u'（t）＜u'（1）=0，
∴u（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)t＞1時(shí)，u（t）＜u（1）=0．
∴當(dāng)t＞1時(shí)，h′(t)=

u(t)

(t2-1)2

＜0，∴h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴不存在兩個(gè)不同的t（t＞1）使h（t）的函數(shù)值相等，結(jié)論得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)換元法把含有兩個(gè)不相等的正根的一元二次方程掌握含有兩個(gè)大于1且不相等的根的一元二次方程的解的情況、使得|SM|=|SN|的值相等?不存在兩個(gè)不同的t（t＞1）使h（t）的值相等的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性的轉(zhuǎn)化思想方法，屬于難題．