【題目】已知函數
（Ⅰ）當
時，求函數
的單調區間；
（Ⅱ）當
，
時，證明：
（其中
為自然對數的底數）.
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】試題分析：（1）當
時， 
，分類討論：（1）
；（2）
，可得單調區間；（2）當
時，要 證
轉化為證
，設
，判斷其單調性，得
，此題得證。
（1）當
時， 
討論：1’當
時， 
， 
， 
此時函數
的單調遞減區間為
，無單調遞增區間
2’當
時，令
或
①當
，即
時，此時
此時函數
單調遞增區間為
，無單調遞減區間
②當
，即
時，此時在
和
上函數
，
在
上函數
，此時函數
單調遞增區間為
和
；
單調遞減區間為
③當
，即
時，此時函數
單調遞增區間為
和
；
單調遞減區間為
（2）證明：當
時 
只需證明： 
設
問題轉化為證明
， 
令
， 
，
為
上的增函數，且
， 
存在唯一的
，使得
， 
在
上遞減，在
上遞增
不等式得證
孟建平錯題本系列答案
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某超市從現有甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的1200個數據（數據均在區間
內）中，按照5%的比例進行分層抽樣，統計結果按
， 
， 
， 
， 
分組，整理如下圖：
（Ⅰ）寫出頻率分布直方圖（圖乙）中
的值；記所抽取樣本中甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量的方差分別為
， 
，試比較
與
的大小（只需寫出結論）；
（Ⅱ）從甲種酸奶日銷售量在區間
的數據樣本中抽取3個，記在
內的數據個數為
，求
的分布列；
（Ⅲ）估計1200個日銷售量數據中，數據在區間
中的個數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2017年五一假期期間，高速公路車輛較多。某調査公司在一服務區從七座以下小型汽車中按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調 査，將他們在某段高速公路的車速
分成六段： 
后得到如圖的頻率分布直方圖.
（Ⅰ）求這40輛小型車輛車速的眾數和中位數以及平均數的估計值.
（Ⅱ）若從車速在
的車輛中任抽取2輛，求車速在
的車輛恰有一輛的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校組織“中國詩詞”競賽，在“風險答題”的環節中，共為選手準備了
三類不同的題目，選手每答對一個
類、
類或
類的題目，將分別得到
分， 
分， 
分，但如果答錯，則相應要扣去
分， 
分， 
分，根據平時訓練經驗，選手甲答對
類、
類或
類的題目的概率分別為
、
、
，若要每一次答題的均分更大一些，則選手甲應選擇的題目類型應為_________.（填
， 
或
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某居民區的物業部門每月向居民收取衛生費，計費方法如下：3人和3人以下的住戶，每戶收取5元；超過3人的住戶，每超出1人加收1.2元．設計一個算法，根據輸入的人數，計算應收取的衛生費，并畫出程序框圖．
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