Question

（2009•宜昌模擬）△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量

m

=（sinC+

3

+1，2sin

A+B

2

），

n

=（-1，

3

sin

A+B

2

），且

m

⊥

n

．
（1）求角C的大小；
（2）若a=2

3

，c=2，求b．

Answer 1

分析：（1）由平面向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，列出關(guān)系式，利用二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及C為三角形的內(nèi)角，即可求出C的度數(shù)；
（2）由（1）求出的C的度數(shù)，求出cosC的值，再由a及c的值，利用余弦定理列出關(guān)于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴-sinC-

3

-1+2

3

sin²

A+B

2

=0，
化簡得：-sinC-

3

cos（A+B）=1，即

3

cosC-sinC=1，
整理得：sin（

π

3

-C）=

1

2

，又C為三角形的內(nèi)角，
∴

π

3

-C=

π

6

，即C=

π

6

；
（2）∵a=2

3

，c=2，cosC=

3

2

，
∴根據(jù)余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：4=12+b²-6b，
解得b=2或b=4，
則b的值為2或4．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．