Question

（2009•宜昌模擬）設⊙O：x2+y2=

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，直線l：x+3y-8=0，若點A∈l，使得⊙O上存在點B滿足∠OAB=30°（O為坐標原點），則點A的橫坐標的取值范圍是

[0，

8

5

]

．

Answer 1

分析：當AB是圓的切線時∠OAB最大，當AB經過圓心時∠OAB最小且等于0°．而當A點距圓心O越近時，∠OAB的最大值越大；A距圓心越遠時，∠OAB的最大值越小．只要使∠OAB的最大值不小于30°就行了，也就是要找到使∠OAB的最大值等于30°的兩個點A，兩個點A橫坐標之間的區間即為所求．當∠OAB=30°時，連接OB，就得到一個∠OAB=30°的三角形，這時OA=2OB，只要求出在直線I上距圓心為

8

3

的點的橫坐標即可．

解答：解：設點A（x，y）如圖，當∠OAB=30°時，連接OB，就得到一個∠OAB=30°的三角形，這時OA=2OB，圓O的半徑是

4

3

，那么只要求出在直線I上距圓心為

8

3

的點的橫坐標，就是所求范圍，
點A的坐標滿足：（y-0）²+（x-0）²=(

8

3

)2 與 x+3y-8=0
解得x=0或x=

8

5

．
所以A的橫坐標取值范圍是[0，

8

5

]

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系的判斷，以及轉化與化歸的思想方法．本題出現最多的問題題意理解不正確以及計算上的問題，平時要強化基本功的練習．