Question

設數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）當a∈（-∞，-2）時，求證：a∉M；
（2）當a∈（0，

1

4

]時，求證：a∈M；
（3）當a∈（

1

4

，+∞）時，判斷元素a與集合M的關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）如果a＜-2，由題設條件知|a₁|=|a|＞2，a∉M．
（2）由題高級條件知當0＜a≤

1

4

時，|an|≤

1

2

（?n≥1）．由數學歸納法可以證出對任意n∈N^*，|a_n|≤

1

2

＜2，所以a∈M．
（3）當a＞

1

4

時，a∉M．由題設條件可以推導出an+1-a=an+1-a1≥n(a-

1

4

)．當n＞

2-a

a- 1 4

時，an+1≥n(a-

1

4

)+a＞2-a+a=2，由此可知a_n+1＞2，因此a∉M．

解答：證明：（1）如果a＜-2，則|a₁|=|a|＞2，a∉M．（2分）
（2）當0＜a≤

1

4

時，|an|≤

1

2

（?n≥1）．
事實上，〔i〕當n=1時，|a1|=|a|≤

1

2

．
設n=k-1時成立（k≥2為某整數），
則〔ii〕對n=k，|ak|≤|ak-1|2+a≤(

1

2

)2+

1

4

=

1

2

．
由歸納假設，對任意n∈N^*，|a_n|≤

1

2

＜2，所以a∈M．（6分）
（3）當a＞

1

4

時，a∉M．證明如下：
對于任意n≥1，an＞a＞

1

4

，且a_n+1=a_n²+a．
對于任意n≥1，an+1-an=

a

2 n

-an+a=(an-

1

2

)2+a-

1

4

≥a-

1

4

，
則an+1-an≥a-

1

4

．
所以，an+1-a=an+1-a1≥n(a-

1

4

)．
當n＞

2-a

a- 1 4

時，an+1≥n(a-

1

4

)+a＞2-a+a=2，
即a_n+1＞2，因此a∉M．（10分）

點評：本題考查數列的性質及其應用，解題時要認真審題，仔細解答．