Question

（2013•日照一模）若數(shù)列{b_n}：對(duì)于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列{b_n}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若c_n=

4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).

則{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（I）設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=a，對(duì)于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求證：{a_n}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式：
（Ⅱ）設(shè)（I）中的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試研究：是否存在實(shí)數(shù)a，使得數(shù)列S_n有連續(xù)的兩項(xiàng)都等于50．若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）：由已知a_n+a_n+1=2n（n∈N^*），a_n+1+a_n+2=2（n+1），即可得出a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．即可證明{a_n}為準(zhǔn)等差數(shù)列．分n為奇偶數(shù)即可得出其通項(xiàng)公式．                   
（Ⅱ）分當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，求出S_n．                              
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令S_k=50，得k=10．再分別令S₉=50，S₁₁=50得出a即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+a_n+1=2n（n∈N^*）①
a_n+1+a_n+2=2（n+1）②
②-①得a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
所以，{a_n}為公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列．                       
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=2-a+(

n

2

-1)×2=n-a，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=a+(

n+1

2

-1)×2=n+a-1；
∴an=

n+a-1，(n為奇數(shù)) n-a，(n為偶數(shù))

．
（Ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=a•

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2+(2-a)•

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2=

1

2

n2；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=a•

n+1

2

+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×2+(2-a)•

n-1

2

+

n-1 2 ( n-1 2 -1)

2

×2
=

1

2

n2+a-

1

2

．                              
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，Sk=

1

2

k2=50，得k=10．
由題意，有S9=

1

2

×92+a-

1

2

=50⇒a=10；
或S11=

1

2

×112+a-

1

2

=50⇒a=-10．
當(dāng)a=10時(shí)，S₉，S₁₀兩項(xiàng)等于50；當(dāng)a=-10時(shí)，S₁₀，S₁₁兩項(xiàng)等于50；
所以，a=±10．

點(diǎn)評(píng)：正確理解新定義和分類(lèi)討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．