Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得DE=CD．動點P從點A出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，

AP

=λ

AB

+μ

AE

．
下列三個命題：
①當點P與D重合時，λ+μ=2；
②λ+μ的最小值為0，λ+μ的最大值為3；
③在滿足1≤λ+μ≤2的動點P中任取兩個不同的點P₁和P₂，則0＜|

P1P2

|≤

1

2

或1≤|

P1P2

|≤

2

．
其中正確命題的個數為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：建立坐標系得

AP

=（λ-μ，μ），通過P的位置討論，結合不等式的性質判定命題①、②、③是否正確，從而得出正確答案．

解答：解：由題意，設正方形的邊長為1，建立坐標系如圖，
則B（1，0），E（-1，1），
∴

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），
∴

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ），
當點P與D重合時，

AP

=（λ-μ，μ）=（0，1），
∴λ=μ=1，此時λ+μ=2，∴命題①正確；
當P∈AB時，有0≤λ-μ≤1，μ=0，∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
當P∈BC時，有λ-μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
當P∈CD時，有0≤λ-μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
當P∈AD時，有λ-μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
綜上，0≤λ+μ≤3，∴命題②正確；
設BC的中點為F，AD的中點為G，如圖，
當1≤λ+μ≤2時，動點P在BF或DG上運動，
∴當點P₁、P₂同在BF或DG上時，有0＜|

P1P2

|≤

1

2

，
當點P₁、P₂分別在BF、DG上時，有1＜|

P1P2

|≤

2

，∴命題③正確；
綜上，正確的命題是①②③．
故選：D．

點評：本題考查向量加減的幾何意義，涉及分類討論以及反例的方法，是易錯題．