Question

【題目】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中．

（I）求證：AC⊥BD1；

（Ⅱ）是否存在直線與直線AA1，CC1，BD1都相交？若存在，請你在圖中畫出兩條滿足條件的直線（不必說明畫法及理由）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）存在，圖形見解析.

【解析】

（Ⅰ）連結，推導出，，由此能證明

（Ⅱ）作出滿足條件的直線一定在平面中，且過的中點并與直線，相交

（Ⅰ）證明：如圖，連結BD

∵正方體ABCD-A1B1C1D1，

∴D1D⊥平面ABCD．

∵AC平面ABCD，∴D1D⊥AC．

∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．

∵BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1．

∵BD1平面BDD1，∴AC⊥BD1．

（Ⅱ）存在．答案不唯一，

作出滿足條件的直線一定在平面ACC1A1中，

且過BD1的中點并與直線A1A，C1C相交．