Question

【題目】甲，乙，丙三位學生獨立地解同一道題，甲做對的概率為 ，乙，丙做對的概率分別為m，n（m＞n），且三位學生是否做對相互獨立．記ξ為這三位學生中做對該題的人數，其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P		a	b

（1）求至少有一位學生做對該題的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求ξ的數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設“甲做對”為事件A，“乙做對”為事件B，“丙做對”為事件C，

由題意知， ．

由于事件“至少有一位學生做對該題”與事件“ξ=0”是對立的，

所以至少有一位學生做對該題的概率是 ．

（2）解：由題意知 ，

，

整理得 mn= ， ．

由m＞n，解得 ， ．

（3）解：由題意知 = ，

b=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）= ，

∴ξ的數學期望為Eξ= = ．

【解析】（1）利用“至少有一位學生做對該題”事件的對立事件的概率即可得出；（2）利用P（ξ=0）與P（ξ=3）的概率即可得出m，n；（3）利用（2）及 與b=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）即可得出a，b．