Question

已知橢圓：的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，
線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（Ⅲ）設與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）利用離心率和直線與圓相切得到兩個等量關系，確定橢圓方程；（Ⅱ）利用定義法求解曲線方程；（Ⅲ）采用坐標法，將向量問題坐標化，進行有效的整理為，然后借助均值不等式進行求解范圍.
試題解析：（Ⅰ）∵  
∵直線相切，
∴  ∴       3分
∵橢圓的方程是          6分
（Ⅱ）∵，
∴動點到定直線：的距離等于它到定點的距離，
∴動點的軌跡是為準線，為焦點的拋物線       6分
∴點的軌跡的方程為     9分
（Ⅲ），設、 
∴ 
∵，∴
∵，化簡得         11分
∴
當且僅當即時等號成立      13分
∵，又
∴當即時，，故的取值范圍是  14分