Question

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，D為AO上一點，BD的延長線交⊙O于點E，過E點的圓的切線交CA的延長線于P．
求證：PD²=PA•PC．

Answer 1

證明：連接OE，因為PE切⊙O于點E，所以∠OEP=90°，
所以∠OEB+∠BEP=90°，
因為OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，
因為OB⊥AC于點O，所以∠OBE+∠BDO=90°…（5分）
故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，
又因為PE切⊙O于點E，所以PE²=PA•PC，
故PD²=PA•PC…（10分）
分析：先證明PD=PE，再根據PE切⊙O于點E，利用切割線定理可得PE²=PA•PC，從而問題得證．
點評：圓的切線性質是圓的切線垂直于經過切點的半徑，遇到切線方程，連接半徑是我們常用的方法．