Question

選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答卷紙指定區域內作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，AD是∠BAC的平分線，⊙O過點A且與BC邊相切于點D，與AB、AC分別交于E，F，求證：EF∥BC．

B．選修4-2：矩陣與變換
已知a，b∈R若矩陣M=

.

-1 a b 3

.

所對應的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求a，b的值．

C．選修4-4：坐標系與參數方程
將參數方程

x=2(t+ 1 t ) y=4(t- 1 t )

（t為參數）化為普通方程．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b是正數，求證：（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥

9

2

．

Answer 1

分析：A：根據題意，連接DF．因為BC與圓相切，有切線的性質可得所以∠CDF=∠DAF，再有圓周角的性質可得∠EFD=∠EAD，根據題意易得∠EAD=∠DAF，則有∠CDF=∠EFD，由平行線的判定方法可得EF∥BC．   
B：根據題意，先設P（x，y）為直線2x-y=3上任意一點其在M的作用下變為（x'，y'），由矩陣變化可得（x，y）與（x'，y'）的關系，將其代入2x-y=3得-（b+2）x+（2a-3）y=3，依題意其與2x-y=3完全一樣，比較系數可得答案．
C：由整式關系可得（t+

1

t

）²-（t-

1

t

）²=4，而x=2（t+

1

t

），y=4（t-

1

t

），即可得（

x

2

）²-（

y

4

）²=4，化簡可得答案．
D：從左邊向右邊證明，先把左邊展開可得左式=2ab+

1

2ab

+

5

2

，再由不等式的性質，可=2ab+

1

2ab

≥2

2ab• 1 2ab

=2，代入前式可得證明．

解答：解：A：證明：如圖，連接DF．
因為BC與圓相切，
所以∠CDF=∠DAF．
因為∠EFD與∠EAD為弧DE所對的圓周角，
所以∠EFD=∠EAD．
又因為AD是∠BAC的平分線，
故∠EAD=∠DAF． 
所以∠CDF=∠EFD，
所以EF∥BC．   
B：設P（x，y）為直線2x-y=3上任意一點其在M的作用下變為（x'，y'），
則

-1 b

   

a 3

x y

=

-x+ay bx+3y

=

x′ y′

⇒

x′=-x+ay y′=bx+3y

代入2x-y=3得：-（b+2）x+（2a-3）y=3其與2x-y=3完全一樣．
故得

-b-2=2 2a-3=-1

⇒

b=-4 a=1

；
C：因為（t+

1

t

）²-（t-

1

t

）²=4，且x=2（t+

1

t

），y=4（t-

1

t

），
所以（

x

2

）²-（

y

4

）²=4，
化簡得普通方程為

x2

16

-

y2

64

=1．
D：證明：左式=（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）=2ab+

1

2ab

+2+

1

2

=

5

2

+2ab+

1

2ab

≥

5

2

+2

2ab• 1 2ab

=

5

2

+2≥

9

2

=右式；
即的證（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥

9

2

．

點評：本題為選做題，一般為4選2或4選1，考查了圓的切線性質，二階矩陣的線性表示，簡單的參數方程化為普通方程，簡單不等式的證明，是一道綜合題．