Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，點E，F分別為AB、CD的中點，將四邊形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置，使∠A1EB=120°，如圖2所示，點G、H分別在A1B、D1C上，A1G=D1H= ，過點G、H的平面α與幾何體A1EB﹣D1FC的面相交，交線圍成一個正方形．
（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；
（2）求點E到平面α的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：

（2）解：過E作EP⊥GM，垂足為P，連接HP，

∵EF⊥A1E，EF⊥BE，A1E∩BE=E，

∴EF⊥平面A1BE，

∵A1G=D1H，∴GH∥EF，

∴GH⊥平面A1BE，又EP平面A1BE，

∴EP⊥GH，又GH∩GM=G，GH平面GHNM，GM平面GHNM，

∴EP⊥平面GHNM，

由（1）可知GM∥A1E，EM=1，

∴∠PEM=30°，

∴PM= ，PE= = ，

∴點E到平面α的距離為 ．

【解析】解：（1）由題意可知A1E=BE=4，GH=A1D1=3， 在△A1BE中，由余弦定理得A1B= =4 ，
設平面α與幾何體的截面正方形為GHNM，則GM=3，
若M在棱BE上，設BM=x，則由余弦定理得cos30°= = ，解得x=3，
若M在棱A1E上，設A1M=x，
則由余弦定理得cos30°= = ，解得x=9（舍）．
過M作MN∥EF交CF于N，連接GH，MN，GM，HN，
則正方形GHNM即為要作的正方形．