Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且7a_n+S_n=8．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=a_n+1•（2n+1），是否存在常數m∈N^*，使b_n≤b_m恒成立，若不存在說明理由，若存在求m的值．

Answer 1

分析：（1）利用條件，再寫一式，兩式相減，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用作差法，確定函數的單調性，即可求得結論．

解答：解：（1）∵7a_n+S_n=8①
∴7a_n-1+S_n-1=8②
①-②得7a_n-7a_n-1+a_n=0，即

an

an-1

=

7

8

（n≥2）…（2分）
令n=1，得a₁=1                                    …（3分）
∴an=(

7

8

)n-1                                                …（4分）
（2）記bn=(

7

8

)n•(2n+1)
∴bn+1-bn=(

7

8

)n•

-2n+13

8

                      …（8分）
顯然n≤6時，b_n+1＞b_n，n＞6時，b_n+1＜b_n，
故（b_n）_max=b₇，即m=7．                                       …（10分）

點評：本題考查數列的通項，考查數列的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．