Question

【題目】已知四棱錐A-BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD//BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F為AD的中點.

（1）求證:EF//平面ABC；

（2）設M是AB的中點，若DM與平面ABC所成角的正切值為，求平面ACD與平面ADE夾角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取中點，連結、，推導出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明面．

（2）由平面，是為與平面所成角，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用向量法能示出平面與平面夾角的余弦值．

證明：（1）取中點，連結、，

、分別是、的中點，

，且．

又，且，

四邊形是平行四邊形，

，面且面，

面．

（2）平面，

為與平面所成角，

為的中點，且，，得

與平面所成角的正切值為，

，，

以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標，

則， ， ， ，

， ，

設平面的法向量為，

由，取，得，

而平面的法向量為，

，，

由，

得平面與平面夾角的余弦值為．