Question

【題目】已知橢圓：與拋物線有公共的焦點，且公共弦長為，

（1）求，的值.

（2）過的直線交于，兩點，交于，兩點，且，求.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

(1)由橢圓以及拋物線的對稱性可得到交點的縱坐標，代入，可得到交點的橫坐標，再由有公共的焦點，即可得到，的值；

(2)先設：，再由直線交于，兩點，交于，兩點，根據根與系數的關系可得橫坐標之間的關系，再由已知條件可得，從而可求出.

（1）∵，均關于軸對稱，∴公共弦也關于軸對稱，

∵公共弦長為，將代入，中解得與，

∴，.

∵，有公共的焦點，

∴，解得，.

（2），設，，，，

∵，

∴，即，.

當的斜率不存在時，顯然不成立，∴設：，

將方程代入整理得，，.

將方程代入整理得，∴，.

代入中解得，

∵，

∴.