Question

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在上， 是邊長為4的等邊三角形.

（1）求的值；

（2）在軸上是否存在一點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)時(shí)， 為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題知， ，則.設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則.又是邊長為4的等邊三角形， ，所以， ，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)點(diǎn)，由題意知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，

由得， ，由韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式可得，同理可得，化簡即可得， 時(shí)為定值，此時(shí)點(diǎn)為定點(diǎn).

試題解析：（1）由題知， ，則.設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則.又是邊長為4的等邊三角形， ，所以， ，即.

（2）設(shè)點(diǎn)，由題意知直線的斜率不為零，

設(shè)直線的方程為，點(diǎn)， ，

由得， ，則， ， .

又，同理可得，則有 .

若為定值，則，此時(shí)點(diǎn)為定點(diǎn).

又當(dāng)， 時(shí)， ，

所以，存在點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)時(shí)， 為定值.