Question

【題目】已知，函數，且曲線在處的切線與直線垂直.

（I）求函數在區間上的極大值；

（II）求證：當時，

Answer 1

【答案】(I）極大值； (II)證明見解析

【解析】

（I）先根據條件解出，代入解析式可得，求導分析單調性即可求出極大值. （II）轉化得到，對不等式兩邊分別求最值比較大小.

（I）由題意，得直線的斜率為，

即曲線在處的切線的斜率為，函數的導數，

所以，解得

所以 ，

，所以，當時，；

當 時， ；當 時， ；

所以函數 在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以函數在區間上有唯一的極大值

（Ⅱ）由題得，即證明 ，

設，得 ，

當時，，所以函數在區間上單調遞增，

當時，，所以函數在區間 上單調遞減，

所以當 時，取最大值 ，

再令 ，則 ，

所以