考點：數列與不等式的綜合,數列的應用
專題：等差數列與等比數列
分析：（Ⅰ） （ⅰ）由題意得
2015a1+=0，從而a
1008=0，由此結合已知條件能求出a
n；
（ⅱ）當q=1時，|a
1|+|a
2|+|a
3|+…+|a
2015|=|a
1+a
2+a
3+…+a
2015|=0．當q≠1時，
a1+a2+a3+…+a2015=≠0．由此能求出不存在滿足性質P的等比數列．
（Ⅱ）由條件知，必有ai＞0，也必有aj＜0 （i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j ），由條件得a
i1+a
i2+…+a
il=
，a
j1+a
j2+…+a
jm=-
．由此能證明
a1+a2+a3+…+a2015≤．
解答：
（Ⅰ） （ⅰ）解：設等差數列a1，a2，…，a2015的公差為d，則
a1+a2+…+a2015=2015a1+．
由題意得
2015a1+=0，
所以a
1+1007d=0，即a
1008=0．
當d=0時，a1=a2=…=a2015=0，
所以|a
1|+|a
2|+|a
3|+…+|a
2015|=0與性質P矛盾；
當d＞0時，由
a1+a2+…+a2015=-，a
1008=0，
得d=
，
a1=-．
所以
an=-+=(n=1，2，…，2015)．
當d＜0時，由
a1+a2+…+a1007=，a
1008=0，
得
d=-，
a1=．
所以
an=+=(n=1，2，…，2015)．
綜上所述，
an=或
an=(n=1，2，…，2015)．
（ⅱ）解：設a1，a2，…，a2015是公比為q的等比數列，
則當q=1時，a
1=a
2=…=a
2015，則|a
1|+|a
2|+|a
3|+…+|a
2015|=|a
1+a
2+a
3+…+a
2015|=0，
與性質P矛盾．
當q≠1時
a1+a2+a3+…+a2015=≠0．
與性質P矛盾．
因此不存在滿足性質P的等比數列a
1，a
2，…，a
2015．
（Ⅱ）證明：由條件知，必有ai＞0，也必有aj＜0 （i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j ）．
設
ai1，ai2，…，ail為所有ai中大于0的數，
aj1，aj2，…，ajm為所有ai中小于0的數．
由條件得a
i1+a
i2+…+a
il=
，a
j1+a
j2+…+a
jm=-
．
所以
a1+a2+…+an=
(++…+)+(++…+)≤(ai1+ai2+…+ail)+(aj1+aj2+…+ajm)=
-=
．
∴
a1+a2+a3+…+a2015≤．
點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查是否存在具有性質P的等比數列的判斷與求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意等差數列和等比數列的性質的合理運用．
