Question

在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）•（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC．
（1）求∠A的值；
（2）求

3

sinB-sinC的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用正弦定理將（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC轉化為邊之間的關系，再由余弦定理即可求得求角A的值；
（2）利用（1）中角A=60°，可求得B=120°-C，利用三角函數中的恒等變換可將

3

sinB-sinC轉化為關于角C的關系式，從而可求得其最大值．

解答： 解：（1）∵（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC，
∴（sinB+sinC）²-sin²A=3sinBsinC，
∴sin²B+sin²C-sin²A-sinBsinC=0，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：b²+c²-a²-bc=0，
又由余弦定理知，a²=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=

1

2

，角A=60°．
（2）∵角A=60°，在△ABC中，A+B+C=180°，
∴B=120°-C，
∴

3

sinB-sinC
=

3

sin（120°-C）-sinC
=

3

（

3

2

cosC-（-

1

2

）sinC）-sinC
=

3

2

cosC+

3 -1

2

sinC
=

13-2 3

2

sin（C+φ），其中，tanφ=

3

3 -2

，
∴sin（C+φ）_max=1，即

3

sinB-sinC的最大值為

13-2 3

2

．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，著重考查正弦定理與余弦定理，突出三角函數中的恒等變換及誘導公式的應用，屬于中檔題．