Question

【題目】如圖，半圓的直徑，為圓心，，為半圓上的點.

（Ⅰ）請你為點確定位置,使的周長最大，并說明理由；

（Ⅱ）已知，設，當為何值時，

（ⅰ）四邊形的周長最大，最大值是多少?

（ⅱ）四邊形的面積最大，最大值是多少?

Answer 1

【答案】（Ⅰ）點是半圓的中點，理由見解析； （Ⅱ）（ⅰ）時，最大值（ⅱ）時，最大面積是

【解析】

(Ⅰ)設,,,法一:依題意有,再利用基本不等式求得,從而得出結論;法二:由點在半圓上,是直徑,利用三角函數求出,,再利用三角函數的性質求出結論;

(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函數值表示四邊形的周長,再求的最大值;(ⅱ)利用三角函數值表示出四邊形的面積,再結合基本不等式求的最大值.

(Ⅰ)點在半圓中點位置時,周長最大.理由如下:

法一:因為點在半圓上,且是圓的直徑,

所以,即是直角三角形,

設,,,顯然a,b,c均為正數,則,

因為,當且僅當時等號成立,

所以,

所以,

所以的周長為,當且僅當時等號成立,

即為等腰直角三角形時,周長取得最大值,此時點是半圓的中點.

法二:因為點在半圓上,且是圓的直徑,

所以,即是直角三角形,

設,,,,

則,,

,

因為,所以,

所以當,即時,

周長取得最大值,此時點是半圓的中點.

(Ⅱ)(ⅰ)因為,所以,

所以,,

設四邊形的周長為,

則

,

顯然,所以當時,取得最大值;

(ⅱ)過作于,

設四邊形的面積為,四邊形的面積為,的面積為,則

,

所以

;

當且僅當,即時,等號成立,

顯然,所以,所以此時,

所以當時,,即四邊形的最大面積是.