Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，在橢圓上(異于橢圓的左、右頂點)，過右焦點作∠的外角平分線的垂線，交于點，且(為坐標原點)，橢圓的四個頂點圍成的平行四邊形的面積為．

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線：()與橢圓交于，兩點，點關于軸的對稱點為，直線交軸于，求當三角形的面積最大時，直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由題意可得，延長F2Q交直線F1P于點R，由垂直平分線性質，以及橢圓的定義、三角形的中位線定理可，，進而得到橢圓方程；

（2）聯立直線l和橢圓方程，運用韋達定理和直線方程，令y=0，化簡可得定值，再由，結合韋達定理和換元法、基本不等式可得最大值和直線l的方程．

(1)由橢圓的四個頂點圍成的平行四邊形的面積為，得．

延長交直線于點，因為為∠的外角平分線的垂線，所以，為的中點，

所以，

所以，，

所以橢圓的方程為．

(2)將直線和橢圓的方程聯立得，消去，

得，

所以，即．

設，，則，由根與系數的關系，

得，，

直線的斜率，

所以直線的方程為，

令得，

故，所以點到直線的距離，

所以．

令()，則，

當且僅當，即，即，時，三角形的面積最大，

所以直線的方程為或．