Question

【題目】已知函數f（x）=x2lnx﹣a（x2﹣1），a∈R，若當x≥1時，f（x）≥0恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣1]
B.（﹣∞，0]
C.（﹣∞，1]
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由已知，即x≥1時，f（x）min＞0，
f′（x）=x（2lnx+1﹣2a），x≥1，
當1﹣2a≥0，即a≤ 時，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）單調增，
∴f（x）min=f（1）=0，即a≤ 時滿足f（x）≥0恒成立；
當1﹣2a＜0，即a＞ 時，由f′（x）=0，得x= ＞1，
∴x∈（1， ）時，f（x）單調減，即x∈（1， ）時，
∴f（x）＜f（1）=0與題設矛盾，
即a＞ 時，不能滿足f（x）≥0恒成立，
綜上，所求a的取值范圍是a≤ ；
故選：D．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．