Question

已知函數，其中.
（1）若，求函數的定義域和極值；
（2）當時，試確定函數的零點個數，并證明.

Answer 1

（1）定義域為，且，當時，函數有極小值；（2）函數存在兩個零點．

試題分析：若，求函數的定義域和極值，把代入得函數，故可求得函數的定義域，求它的極值，對函數求導，求出導數等于零點，及兩邊導數的符號，從而確定極值點；（2）當時，試確定函數的零點個數，即求函數的零點個數，首先確定定義域，在定義域內，考慮函數的單調性，由單調性與根的存在性定理，來判斷零點的個數．
（1）函數的定義域為，且.              1分
.                                 3分
令，得，
當變化時，和的變化情況如下：

	↘	↘		↗

      4分
故的單調減區間為，；單調增區間為．
所以當時，函數有極小值.                      5分
（2）結論：函數存在兩個零點.
證明過程如下：
由題意，函數，
因為 ，
所以函數的定義域為.                                      6分
求導，得，          7分
令，得，，
當變化時，和的變化情況如下：

	↗		↘		↗

 
故函數的單調減區間為；單調增區間為，．
當時，函數有極大值；當時，函數有極小值.                                                        9分
因為函數在單調遞增，且，
所以對于任意，.                              10分
因為函數在單調遞減，且，
所以對于任意，.                                11分
因為函數在單調遞增，且，，
所以函數在上僅存在一個，使得函數，      12分
故函數存在兩個零點（即和）.                           13分