Question

【題目】已知定義域為R的函數 ．
（1）用定義證明：f（x）為R上的奇函數；
（2）用定義證明：f（x）在R上為減函數；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ ，

∴f（﹣x）= = =﹣ =﹣f（x），

∴f（x）為R上的奇函數

（2）解：∵ =﹣1+ ，

令x1＜x2，則 ＜ ，

∴f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在R上為減函數

（3）解：∵f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，f（x）為R上的奇函數，

∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），又f（x）在R上為減函數，

∴t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，

∴k＜（3t2﹣2t）min，由二次函數的單調性質知，當t= 時，y=（3t2﹣2t）min，取得最小值，即（3t2﹣2t）min，=3×（ ）2﹣2× =﹣ ．

∴

【解析】（1）因為f（﹣x）= = =﹣ =﹣f（x），利用奇函數的定義即可證明f（x）為R上的奇函數；（2）令x1＜x2 ， 則 ＜ ，將f（x1）與f（x2）作差，利用函數單調性的定義可證明：f（x）在R上為減函數；（3）由（1）（2）可知奇函數f（x）在R上為減函數，故f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，即k＜（3t2﹣2t）min ， 利用二次函數的單調性質可求得（3t2﹣2t）min ， 從而可求k的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調性的綜合的相關知識點，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能正確解答此題．