Question

【題目】已知函數f（x）= x3﹣2ax2+3x（x∈R）．
（1）若a=1，點P為曲線y=f（x）上的一個動點，求以點P為切點的切線斜率取最小值時的切線方程；
（2）若函數y=f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，試求滿足條件的最大整數a．

Answer 1

【答案】
（1）解：設切線的斜率為k，則k=f′（x）=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，當x=1時，kmin=1．

把a=1代入到f（x）中得：f（x）= x3﹣2x2+3x，所以f（1）= ﹣2+3= ，即切點坐標為（1， ）

∴所求切線的方程為y﹣ =x﹣1，即3x﹣3y+2=0

（2）解：f′（x）=2x2﹣4ax+3，因為y=f（x）為單調遞增函數，則對任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞0，

f′（x）=2x2﹣4ax+3＞0，

∴a＜ = + ，而 + ≥ ，當且僅當x= 時，等號成立．

所以a＜ ，則所求滿足條件的最大整數a值為1

【解析】（1）設出切線的斜率k，得到k等于f′（x）并把a=1代入到f（x）中求出解析式，根據二次函數求最小值的方法，求出k的最小值，然后把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值即可得到切點坐標，根據斜率和切點坐標寫出切線方程即可；（2）求出f′（x），要使f（x）為單調遞增函數，必須滿足f'（x）＞0，即對任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）大于0，解出a小于一個關系式，利用基本不等式求出這個關系式的最小值，得到關于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范圍，在范圍中找出滿足條件的最大整數即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．