Question

選修4-5：不等式選講
已知關于x的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2（a＞0）．
（1）當a=1時，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，關于x的不等式即|x-2|+|x-1|≥2．而由絕對值的意義可得，

5

2

和

1

2

到1和2對應點的距離之和正好等于2，由此可得不等式的解集．
（2）由于|ax-2|+|ax-a|≥|a+2|，不等式的解集為R，等價于|a+2|≥2，由此求得a的范圍．再根據a＞0，進一步確定a的范圍．

解答：解：（1）當a=1時，關于x的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2（a＞0），即|x-2|+|x-1|≥2．
而由絕對值的意義可得|x-2|+|x-1|表示數軸上的x對應點到1和2對應點的距離之和，
且

5

2

和

1

2

到1和2對應點的距離之和正好等于2，
故不等式的解集為{x|x≥

5

2

，或 x≤

1

2

}．
（2）由于不等式|ax-2|+|ax-a|≥|（ax+2）-（ax-a）|=|a+2|，
不等式|ax-2|+|ax-a|≥2（a＞0）的解集為R，等價于|a+2|≥2，
即 a+2≥2，或 a+2≤-2，解得 a≥0，或 a≤-4．
再根據a＞0，可得 a＞0，即a的范圍為（0，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．