Question

四面體ABCD中，AD與BC互相垂直，AD＝2BC＝4，且AB＋BD＝AC＋CD＝2，則四面體ABCD的體積的最大值是

A．4                B．2            C．5                D．

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試題分析：作BE⊥AD于E，連接CE，說明B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中點(diǎn)F，推出四面體ABCD的體積的最大值，當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時(shí)幾何體的體積最大，求解即可．解：

作BE⊥AD于E，連接CE，則AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由題設(shè)，B與C都是在以AD為焦點(diǎn)的橢圓上，且BE、CE都垂直于焦距AD， AB+BD=AC+CD=2a，顯然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．取BC中點(diǎn)F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，四面體ABCD的體積的最大值，只需EF最大即可，當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時(shí)幾何體的體積最大，故可知答案為4，選A

考點(diǎn)：棱錐

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計(jì)算能力．