Question

【題目】如圖，四棱錐中, 平面△為等邊三角形， 是上的點，且.

（1）求和平面所成角的正弦值；

（2）線段上是否存在點，使平面？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）PB中點

【解析】試題分析：（1）分別利用等腰三角形的三線合一和線面垂直的性質得到線線垂直，進而利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，作出線面角，再利用直角三角形進行求解；（2）先猜出該點位置，再利用利用線面垂直的判定定理進行證明.

試題解析：（1）取AD中點H，PD=PA, 所以,因為AB平面PAD，且PH平面PAD，

所以，又,所以平面.

∠PCH是PC和平面ABCD所成的角.

不妨令AB=2 ，CH=

在△

（2）線段上存在點，使平面.

理由如下：如圖，分別取的中點G、Ｅ，則， 由 ， 所以，所以四邊形為平行四邊形，故.

因為AB平面PAD，所以，因此， ，因為為的中點，且， ，因此.

又，所以平面.