Question

【題目】設A、B是橢圓上的兩點，點是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點．

（1）求直線AB的方程；

（2）判斷A、B、C、D四點是否在同一個圓上？若是求出圓的方程，若不是說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，.

【解析】

（1）利用點差法列式進行化簡，由此求得直線的斜率，進而求得直線的方程.（2）求得直線的方程，代入橢圓方程，利用根與系數關系以及弦長公式，求得弦長，求得中點的坐標.同理求得弦長，計算到直線的距離，由此計算出

（1）設，，

則有,

依題意，，．

是AB的中點，

，，從而．

又，在橢圓內，

直線AB的方程為，即．

（2）垂直平分AB，直線CD的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得①．

又設，，CD的中點為，則，是方程①的兩根，

，且，，即中點,

于是由弦長公式可得

將直線AB的方程，代入橢圓方程得,

同理可得．

點M到直線AB的距離為．

，四點共圓，

且原方程為：.