Question

如圖所示，某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點A、B，觀察對岸的點C，測得∠CAB=105°，∠CBA=45°，且AB=100m．
（1）求sin∠CAB的值；
（2）求該河段的寬度．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，利用兩角和的正弦公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值加以計算即可得sin∠CAB的值；
（2）由題意畫出簡圖，在三角形中利用正弦定理先求出BC的長度，然后過點C作CD垂直于對岸，垂足為D，由題意可得CD的長就是該河段的寬度，解出△ACB的BC長后再在△BDC中即可解出BD長，可得該河段的寬度．．
解答：解：（1）sin∠CAB=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°
=×+×=；
（2）∵∠CAB=105°，∠CBA=45°
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=30°，
由正弦定理得，
得BC=（m），
如圖過點C作CD垂直于對岸，垂足為D，則CD的長就是該河段的寬度．
∵在Rt△BDC中，∠BCD=∠CBA=45°，
∴BD=BCsin45°=50（）•=50（）（m）．
答：（1）求sin∠CAB的值為；（2）該河段的寬度為50（）（m）．
點評：本題給出實際問題，求河岸的寬度，著重考查了學(xué)生對題意的理解，還考查了正弦定理解三角形，兩角和的正弦公式，查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．