Question

如圖所示，某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點A、B，觀察對岸的點C，測得∠CAB=105°，∠CBA=45°，且AB=100m．
（1）求sin∠CAB的值；
（2）求該河段的寬度．

Answer 1

分析：（1）由題意，利用兩角和的正弦公式，結合特殊角的三角函數值加以計算即可得sin∠CAB的值；
（2）由題意畫出簡圖，在三角形中利用正弦定理先求出BC的長度，然后過點C作CD垂直于對岸，垂足為D，由題意可得CD的長就是該河段的寬度，解出△ACB的BC長后再在△BDC中即可解出BD長，可得該河段的寬度．．

解答：解：（1）sin∠CAB=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°
=

3

2

×

2

2

+

1

2

×

2

2

=

6 + 2

4

；
（2）∵∠CAB=105°，∠CBA=45°
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=30°，
由正弦定理得

AB

sin∠ACB

=

BC

sin∠CAB

，
得BC=

ABsin105°

sin30°

=50(

6

+

2

)（m），
如圖過點C作CD垂直于對岸，垂足為D，則CD的長就是該河段的寬度．
∵在Rt△BDC中，∠BCD=∠CBA=45°，
∴BD=BCsin45°=50（

6

+

2

）•

2

2

=50（

3

+1）（m）．
答：（1）求sin∠CAB的值為

6 + 2

4

；（2）該河段的寬度為50（

3

+1）（m）．

點評：本題給出實際問題，求河岸的寬度，著重考查了學生對題意的理解，還考查了正弦定理解三角形，兩角和的正弦公式，查了學生的計算能力，屬于基礎題．