Question

下列說法：
①命題“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；
②關于x的不等式a＜sin²x+

2

sin2x

恒成立，則a的取值范圍是a＜3；
③對于函數f（x）=

ax

1+|x|

（a∈R且a≠0），則有當a=1時，?k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點；
④

∫

1 0

1-x2

dx≤

∫

e 1

1

x

dx}
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①利用命題的否定即可判斷出；
②令sin²x=t∈[0，1]，f（t）=t+

2

t

，利用導數研究函數的單調性；
③對于函數f（x）=

ax

1+|x|

（a∈R且a≠0），則有當a=1時，若k∈（1，+∞），利用導數研究函數的單調性奇偶性即可判斷出；
④利用微積分基本定理計算出即可判斷出．

解答： 解：①命題“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”，正確；
②令sin²x=t∈[0，1]，f（t）=t+

2

t

，f′（t）=1-

2

t2

＜0，因此函數f（t）在t∈[0，1]單調遞減，∴f（t）≥f（1）=3，則a的取值范圍是a＜3，正確；
③對于函數f（x）=

ax

1+|x|

（a∈R且a≠0），當a=1時，假設k∈（1，+∞），則當x＞0時，g（x）=

x

1+x

-kx，g′（x）=

1

(1+x)2

-k＜0，于是函數g（x）單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0，即當x＞0時，函數g（x）無零點，由于函數g（x）為奇函數，因此x＜0，也無零點，因此函數g（x）只有一個零點；
④

∫

1 0

1-x2

dx=

1

4

×π×12=

π

4

，

∫

e 1

1

x

dx=lnx

|

e 1

=1，∴

∫

1 0

1-x2

dx≤

∫

e 1

1

x

dx，正確．
其中正確的是 ①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、微積分基本定理、函數的奇偶性、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．