Question

如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，BD=4

2

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P-CD-B的大小．

Answer 1

分析：（I）證明直線BD所在的向量與平面內兩個不共線的向量垂直，即可得到直線與平面內的兩條相交直線垂直，進而得到線面垂直．
（II）由題意求出兩個平面的法向量，求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角P-CD-B的平面角即可．

解答：解：（I）建立如圖所示的直角坐標系，
則A（0，0，0），D（0，4，0），P（0，0，4），
在Rt△BAD中，AD=4，BD=4

2

，
∴AB=4，
所以B（4，0，0），C（4，4，0），
∴

AP

=(0，0，4)，

AC

=(4，4，0)，

BD

=（-4，4，0）
∵

BD

•

AP

=0，

BD

•

AC

=0
即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=4，
∴BD⊥平面PAC．
（II）：由（I）得

PD

=(0，4，-4)，

CD

=（-4，0，0）．
設平面PCD的法向量為

n1

=(x，y，z)，則

n1

•

PD

=0，

n1

•

CD

=0，
即

0+4y-4x=0 -4x+0+0=0

解得

x=0 y=z

所以

n1

=(0，1，1)，
因為

AP

=(0，0，1)為平面ABCD的法向量.
設二面角P-CD-B的大小為θ，
依題意可得 cosθ=|

n1 • AP

| n1 |•| AP |

|=

2

2

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，以便建立空間直角坐標系利用向量的基本運算解決線面共線、空間角與空間距離等問題．