Question

選修4-5：不等式選講
（1）求不等式|x-3|-2|x-1|≥-1的解集；
（2）已知a，b∈R⁺，a+b=1，求證：(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2≥

25

2

．

Answer 1

分析：（1）分類討論，去掉絕對值符號即可得出：當x≥3時，原不等式可化為（x-3）-2（x-1）≥-1；
當x≤1時，原不等式可化為-（x-3）+2（x-1）≥-1；
當1＜x＜3時，原不等式可化為-（x-3）-2（x-1）≥-1；
（2）由于a，b∈R，且a+b=1，利用基本不等式可得ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

，
進而得到(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2=4+(a2+b2)+(

1

a2

+

1

b2

)=4+[(a+b)2-2ab]+

(a+b)2-2ab

a2b2

=4+(1-2ab)+

1-2ab

a2b2

≥4+(1-2×

1

4

)+

1-2× 1 4

( 1 4 )2

=

25

2

．

解答：（1）解：當x≥3時，原不等式可化為（x-3）-2（x-1）≥-1，化為x≤0，應舍去；
當x≤1時，原不等式可化為-（x-3）+2（x-1）≥-1，化為x≥-2，此時不等式的解集為[-2，1]；
當1＜x＜3時，原不等式可化為-（x-3）-2（x-1）≥-1，化為x≤2，此時不等式的解集為（1，2]；
綜上可知原不等式的解集為：[-2，2]．
（2）證明：∵a，b∈R，且a+b=1，∴ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

，
∴(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2=4+(a2+b2)+(

1

a2

+

1

b2

)=4+[(a+b)2-2ab]+

(a+b)2-2ab

a2b2

=4+(1-2ab)+

1-2ab

a2b2

≥4+(1-2×

1

4

)+

1-2× 1 4

( 1 4 )2

=

25

2

，當且僅當a=b=

1

2

時不等式取等號．

點評：本題考查了含絕對值符號的不等式的解法、基本不等式的性質、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．