Question

【題目】已知圓的標準方程為，為圓上的動點，直線的方程為，動點在直線上．

（1）求的最小值，并求此時點的坐標；

（2）若點的坐標為，過作直線與圓交于，兩點，當時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）的最小值為，此時點；（2）或．

【解析】

（1）轉化為圓心到直線的距離，求出距離減去半徑可得；（2）利用圓的弦長結合勾股定理可求.

解：（1）依題意知：的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑，且點，

故，∴的最小值為．

又過圓心且與直線垂直的直線方程為：，

聯立解得，，

綜上可知，的最小值為，此時點；

（2）把點代入直線的方程可得，即，

由，半徑得圓心到直線的距離，

當直線斜率不存在時，直線的方程為：，符合題意，

當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，即，

∴，解得，故直線的方程為：.

綜上可知，直線的方程為：或．