Question

【題目】如圖，攝影愛好者在某公園A處，發現正前方B處有一立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為，已知攝影愛好者的身高約為米（將眼睛S距地面的距離SA按米處理）．

（1）求攝影愛好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB；

（2）立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN，且MN繞其中點O在攝影愛好者與立柱所在的平面內旋轉．在彩桿轉動的任意時刻，攝影愛好者觀察彩桿MN的視角（設為）是否存在最大值？若存在，請求出取最大值時的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) AB為3米 OB為2米 (2) 當視角∠MSN取最大值時,cosθ=.

【解析】

(1)如圖,作SC⊥OB于C,

依題意∠CSB=30°,∠ASB=60°.

又SA=,故在Rt△SAB中,可求得AB==3,

即攝影愛好者到立柱的水平距離AB為3米.

在Rt△SCO中,SC=3,∠CSO=30°,OC=SC·tan 30°=,

又BC=SA=,故OB=2,即立柱的高度OB為2米.

(2)方法一:如圖,以O為原點,以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐標系,連接SM,SN,

設M(cosα,sinα),α∈[0,2π),

則N(-cosα,-sinα),由(1)知S(3,-).

故=(cosα-3,sinα+),

=(-cosα-3,-sinα+),

∵·=(cosα-3)·(-cosα-3)+(sinα+)·(-sinα+)=11.

||·||=·

=·

=

=.

由α∈[0,2π)知||·||∈[11,13].

所以cos∠MSN=∈[,1],易知∠MSN為銳角,

故當視角∠MSN取最大值時,cosθ=.

方法二:∵cos∠MOS=-cos∠NOS,

∴=-

于是得SM2+SN2=26從而

cosθ=≥=.

又∠MSN為銳角,

故當視角∠MSN取最大值時,cosθ=.