Question

【題目】若方程有實(shí)數(shù)根，則稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)（）.

（1）若，求證：有唯一不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）依題意，令（），利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時(shí)，取的最小值0，由此即可得出結(jié)論；

（2）先證明，則有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求出的導(dǎo)數(shù)，得到其單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，即可得到的取值范圍，再證明時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；

解：（1）證明：當(dāng)時(shí)，由得，

令（），

則，易知在上恒成立，

故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

∴，

∴方程有唯一實(shí)數(shù)根，故有唯一不動(dòng)點(diǎn)；

（2）先證明，令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而，因此在上單調(diào)遞增，故，所以，即，有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

易知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以有，所以，即，

下面說(shuō)明時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，取有，故，取，且，故，又，由零點(diǎn)存在性定理知在存在唯一，使得，在內(nèi)存在使，綜上有.