Question

已知直線l：（a-2）y=（3a-1）x-1①求證：無論a為何值時，直線總過第一象限；②為使這條直線不過第二象限，求a的取值范圍；③若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B．△AOB的面積為S且-2≤a≤-1，求S的最小值并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：①由于（3x-y）+（-x+2y-1）=0對任意實數a恒過直線3x-y=0與x-2y+1=0的交點即可得出結論；
②先對a進行分類討論：當a=2時，直線為x=

1

5

，不過第二象限；當a≠2時，a≥2時直線不過第二象限．從而得到結果；
③令x=0和令y=0得到直線在坐標軸上截距，再利用三角形面積公式得到S關于a的函數表達式，最后利用函數的單調性求得其最小值并求此時直線l的方程．

解答：解：①∵（3x-y）+（-x+2y-1）=0對任意實數a恒過直線3x-y=0與x-2y+1=0的交點(

1

5

，

3

5

)．
∴直線系恒過第一象限內的定點(

1

5

，

3

5

)．
②當a=2時，直線為x=

1

5

，不過第二象限；當a≠2時，直線方程化為y=

3a-1

a-2

x-

1

a-2

不過第二象限的充要條件為

3a-1 a-2 ＞0 - 1 a-2 ≤0

⇒a＞2
∴a≥2時直線不過第二象限．
③令x=0得y=

-1

a-2

令y=0得x=

1

3a-1

∴S=

1

2

：(-

1

3a-1

)×(-

1

a-2

)=

1

2

×

1

3a2-7a+2

∵S在a∈[-2，-1]↗∴當a=-2時Smin=

1

56

此時l：7x-4y+1=0

點評：本小題主要考查直線的方程、確定直線位置的幾何要素、恒過定點的直線等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．